Máy tính công thức nghiệm phương trình bậc hai

Công thức bậc hai giải bất kỳ phương trình nào có dạng ax² + bx + c = 0 cho x: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Biểu thức dưới căn bậc hai, b2 − 4ac, được gọi là phân biệt - nó xác định có bao nhiêu nghiệm thực tồn tại.

Nếu biệt thức là dương thì có hai nghiệm thực phân biệt. Nếu nó chính xác bằng 0 thì có một nghiệm thực lặp lại (parabol chạm vào trục x tại một điểm duy nhất). Nếu nó âm thì không có nghiệm thực - nghiệm là số phức và máy tính này báo cáo "không có nghiệm thực" trong trường hợp đó.

Ví dụ: với x² − 3x + 2 = 0 (a = 1, b = −3, c = 2), biệt thức là 9 − 8 = 1, cho hai nghiệm thực: x = 1 và x = 2. Bạn có thể kiểm tra điều này bằng cách phân tích nhân tử: (x − 1)(x − 2) = 0.

Đỉnh của parabol y = ax² + bx + c nằm ở x = −b/(2a) — hữu ích cho các vấn đề tối ưu hóa ngay cả khi bạn chỉ cần nghiệm ở đây.

Hoàn thành bình phương và phân tích nhân tử là các phương pháp thay thế; công thức bậc hai luôn đúng khi a ≠ 0.

Ví dụ hoạt động với các giá trị mặc định a=1, b=−3, c=2: biệt thức 9−8=1 → nghiệm x=1 và x=2. Kiểm tra: (x−1)(x−2)=0.

Chiều cao chuyển động của đạn theo thời gian là bậc hai khi bỏ qua lực cản không khí - nghiệm −16t²+v₀t+h₀=0 (US feet) cho thời gian khi vật chạm đất; thời gian đạt đỉnh là −b/(2a) cho độ cao tối đa. Rễ đạn −16t²+v₀t+h₀ cho biết thời gian va chạm với mặt đất - đỉnh ở −b/(2a) cho độ cao tối đa tính bằng feet khi bỏ qua sức cản của không khí.

Các nghiệm phức khi phân biệt âm có nghĩa là parabol không bao giờ cắt trục x — đồ thị y = x² + 1 để không thấy điểm giao nhau thực sự nào mặc dù công thức bậc hai vẫn trả về các giá trị phức tạp trong các khóa học đại số ký hiệu và hệ thống đại số máy tính. Các bài toán vật lý không có nghiệm thực vẫn mô hình hóa chuyển động hợp lệ khi thời gian nằm trong giới hạn cho phép.

Nếu a=0 thì phương trình là tuyến tính, không phải phương trình bậc hai — nhập b=−3, c=2 với a=0 trả về hành vi suy biến; đảm bảo a≠0 cho các nghiệm parabol (mặc định a=1 tránh điều này). a=0 làm cho phương trình tuyến tính — mặc định a=1, b=−3, c=2 giữ một parabol thực với phân biệt một và nghiệm một và hai.