Калькулятор квадратного уравнения

Квадратная формула решает любое уравнение вида ax² + bx + c = 0 для x: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Выражение под квадратным корнем b² − 4ac называется дискриминантом — оно определяет, сколько существует реальных решений.

Если дискриминант положителен, существуют два различных действительных корня. Если оно равно нулю, имеется один повторяющийся действительный корень (парабола касается оси X в одной точке). Если оно отрицательное, действительных корней нет — решения представляют собой комплексные числа, и в этом случае калькулятор сообщает «нет действительных корней».

Пример: для x² − 3x + 2 = 0 (a = 1, b = −3, c = 2) дискриминант равен 9 − 8 = 1, что дает два действительных корня: x = 1 и x = 2. Вы можете проверить это, разложив на множители: (x − 1)(x − 2) = 0.

Вершина параболы y = ax² + bx + c находится в точке x = −b/(2a) — это полезно для задач оптимизации, даже если здесь вам нужны только корни.

Альтернативными методами являются завершение квадрата и факторинг; квадратичная формула всегда работает, когда a ≠ 0.

Рабочий пример со значениями по умолчанию a=1, b=−3, c=2: дискриминант 9−8=1 → корни x=1 и x=2. Проверьте: (x−1)(x−2)=0.

Высота движения снаряда в зависимости от времени является квадратичной, если игнорировать сопротивление воздуха — корни из −16t²+v₀t+h₀=0 (футы США) дают время, когда объект упадет на землю; время вершины равно -b/(2a) для максимальной высоты. Корни снаряда −16t²+v₀t+h₀ дают время удара о землю — вершина в −b/(2a) дает максимальную высоту в футах, когда сопротивление воздуха игнорируется.

Комплексные корни, когда дискриминант отрицательный, означают, что парабола никогда не пересекает ось x - график y = x² + 1, чтобы не увидеть реальных пересечений, даже несмотря на то, что квадратичная формула по-прежнему возвращает комплексные значения в курсах символьной алгебры и системах компьютерной алгебры. Физические задачи, не имеющие реальных корней, по-прежнему моделируют правильное движение, когда время остается в допустимых пределах.

Если a=0, уравнение является линейным, а не квадратным — ввод b=−3, c=2 с a=0 возвращает вырожденное поведение; обеспечить a≠0 для корней параболы (по умолчанию a=1 этого избежать). a=0 делает уравнение линейным — значения по умолчанию a=1, b=-3, c=2 сохраняют истинную параболу с дискриминантом один и корнями один и два.