Calculadora de la fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0 para x: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. La expresión bajo la raíz cuadrada, b² − 4ac, se llama discriminante y determina cuántas soluciones reales existen.

Si el discriminante es positivo, existen dos raíces reales distintas. Si es exactamente cero, hay una raíz real repetida (la parábola toca el eje x en un solo punto). Si es negativo, no hay raíces reales; las soluciones son números complejos y esta calculadora informa que "no hay raíces reales" en ese caso.

Ejemplo: para x² − 3x + 2 = 0 (a = 1, b = −3, c = 2), el discriminante es 9 − 8 = 1, dando dos raíces reales: x = 1 y x = 2. Puedes comprobarlo factorizando: (x − 1)(x − 2) = 0.

El vértice de la parábola y = ax² + bx + c se encuentra en x = −b/(2a), útil para problemas de optimización incluso cuando aquí solo se necesitan raíces.

Completar el cuadrado y factorizar son métodos alternativos; la fórmula cuadrática siempre funciona cuando a ≠ 0.

Ejemplo resuelto con valores predeterminados a=1, b=−3, c=2: discriminante 9−8=1 → raíces x=1 y x=2. comprueba: (x−1)(x−2)=0.

La altura del movimiento del proyectil versus el tiempo es cuadrática cuando se ignora la resistencia del aire: las raíces de −16t²+v₀t+h₀=0 (pies estadounidenses) dan el tiempo cuando el objeto golpea el suelo; el tiempo del vértice es −b/(2a) para la altura máxima. Las raíces del proyectil −16t²+v₀t+h₀ dan el tiempo de impacto contra el suelo; el vértice en −b/(2a) da la altura máxima en pies cuando se ignora la resistencia del aire.

Las raíces complejas cuando el discriminante es negativo significan que la parábola nunca cruza el eje x; grafique y = x² + 1 para no ver intersecciones reales a pesar de que la fórmula cuadrática aún devuelve valores complejos en cursos de álgebra simbólica y sistemas de álgebra computacional. Los problemas de física sin raíces reales todavía modelan un movimiento válido cuando el tiempo se mantiene dentro de los límites permitidos.

Si a=0 la ecuación es lineal, no cuadrática: al ingresar b=−3, c=2 con a=0 se devuelve un comportamiento degenerado; asegúrese de a≠0 para raíces parábolas (los valores predeterminados a=1 evitan esto). a=0 hace que la ecuación sea lineal: los valores predeterminados a=1, b=−3, c=2 mantienen una parábola verdadera con discriminante uno y raíces uno y dos.