Quadratische Formel-Rechner

Die quadratische Formel löst jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 für x: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Der Ausdruck unter der Quadratwurzel, b² − 4ac, wird Diskriminante genannt – er bestimmt, wie viele reelle Lösungen existieren.

Wenn die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn sie genau Null ist, gibt es eine wiederholte reelle Wurzel (die Parabel berührt die x-Achse in einem einzigen Punkt). Wenn es negativ ist, gibt es keine echten Wurzeln – die Lösungen sind komplexe Zahlen, und dieser Rechner meldet in diesem Fall „keine echten Wurzeln“.

Beispiel: Für x² − 3x + 2 = 0 (a = 1, b = −3, c = 2) ist die Diskriminante 9 − 8 = 1, was zwei reelle Wurzeln ergibt: x = 1 und x = 2. Sie können dies durch Faktorisieren überprüfen: (x − 1)(x − 2) = 0.

Der Scheitelpunkt der Parabel y = ax² + bx + c liegt bei x = −b/(2a) – nützlich für Optimierungsprobleme, auch wenn Sie hier nur Wurzeln benötigen.

Die Quadratergänzung und das Faktorisieren sind alternative Methoden; Die quadratische Formel funktioniert immer, wenn a ≠ 0.

Bearbeitetes Beispiel mit den Standardwerten a=1, b=−3, c=2: Diskriminante 9−8=1 → Wurzeln x=1 und x=2. Überprüfen Sie: (x−1)(x−2)=0.

Die Höhe der Projektilbewegung im Verhältnis zur Zeit ist quadratisch, wenn der Luftwiderstand ignoriert wird – Wurzeln von −16t²+v₀t+h₀=0 (US-Fuß) geben die Zeit an, wenn das Objekt den Boden trifft; Die Scheitelpunktzeit beträgt −b/(2a) für maximale Höhe. Die Wurzeln des Projektils −16t²+v₀t+h₀ ergeben die Bodenaufprallzeit – der Scheitelpunkt bei −b/(2a) ergibt die maximale Höhe in Fuß, wenn der Luftwiderstand ignoriert wird.

Komplexe Wurzeln, wenn die Diskriminante negativ ist, bedeuten, dass die Parabel niemals die x-Achse schneidet – zeichnen Sie y = x² + 1, um keine echten Achsenabschnitte zu sehen, obwohl die quadratische Formel in symbolischen Algebrakursen und Computeralgebrasystemen immer noch komplexe Werte zurückgibt. Physikalische Probleme ohne echte Wurzeln modellieren immer noch eine gültige Bewegung, wenn die Zeit innerhalb der zulässigen Grenzen bleibt.

Wenn a=0, ist die Gleichung linear und nicht quadratisch – die Eingabe von b=−3, c=2 mit a=0 führt zu degeneriertem Verhalten; Stellen Sie sicher, dass a≠0 für Parabelwurzeln ist (Standardeinstellungen a=1 vermeiden dies). a=0 macht die Gleichung linear – die Standardwerte a=1, b=−3, c=2 behalten eine echte Parabel mit Diskriminante eins und Wurzeln eins und zwei.