حاسبة الصيغة التربيعية

تحل الصيغة التربيعية أي معادلة على الشكل ax² + bx + c = 0 لـ x: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. يُطلق على التعبير الموجود تحت الجذر التربيعي b² − 4ac اسم المميز، فهو يحدد عدد الحلول الحقيقية الموجودة.

إذا كان المميز موجبًا، فهناك جذرين حقيقيين مختلفين. إذا كانت صفرًا تمامًا، فهناك جذر حقيقي واحد متكرر (يلمس القطع المكافئ المحور السيني عند نقطة واحدة). إذا كان سالبًا، فلا توجد جذور حقيقية - الحلول هي أرقام معقدة، وهذه الآلة الحاسبة تشير إلى "عدم وجود جذور حقيقية" في هذه الحالة.

مثال: بالنسبة لـ x² − 3x + 2 = 0 (a = 1, b = −3, c = 2)، المميز هو 9 − 8 = 1، مما يعطي جذرين حقيقيين: x = 1 وx = 2. يمكنك التحقق من ذلك عن طريق التحليل: (x − 1)(x − 2) = 0.

قمة القطع المكافئ y = ax² + bx + c تقع عند x = −b/(2a) — مفيدة لمشاكل التحسين حتى عندما تحتاج فقط إلى الجذور هنا.

يعد إكمال المربع والتخصيم من الطرق البديلة؛ تعمل الصيغة التربيعية دائمًا عندما يكون ≠ 0.

مثال عملي مع الإعدادات الافتراضية a=1، b=−3، c=2: المميز 9−8=1 → الجذور x=1 وx=2. تحقق: (x−1)(x−2)=0.

ارتفاع حركة المقذوف مقابل الزمن يكون تربيعيًا عندما يتم تجاهل مقاومة الهواء - جذور −16t²+v₀t+h₀=0 (قدم أمريكي) تعطي الوقت عندما يضرب الجسم الأرض؛ وقت الذروة هو -b/(2a) لأقصى ارتفاع. تعطي جذور المقذوف −16t²+v₀t+h₀ زمن الارتطام بالأرض — يعطي الرأس عند −b/(2a) أقصى ارتفاع بالقدم عندما يتم تجاهل مقاومة الهواء.

الجذور المعقدة عندما يكون المميز سالبًا تعني أن القطع المكافئ لا يعبر المحور x مطلقًا - الرسم البياني y = x² + 1 لرؤية عدم وجود تقاطعات حقيقية على الرغم من أن الصيغة التربيعية لا تزال تُرجع قيمًا معقدة في دورات الجبر الرمزي وأنظمة الجبر الحاسوبية. لا تزال المسائل الفيزيائية التي ليس لها جذور حقيقية تمثل حركة صالحة عندما يظل الزمن ضمن الحدود المسموح بها.

إذا كانت a=0 فإن المعادلة خطية وليست تربيعية — إدخال b=−3, c=2 مع a=0 يُرجع السلوك المنحط؛ تأكد من a≠0 لجذور القطع المكافئ (الافتراضيات a=1 تجنب ذلك). a=0 تجعل المعادلة خطية — الإعدادات الافتراضية a=1، b=−3، c=2 تحافظ على القطع المكافئ الحقيقي مع المميز واحد والجذر واحد واثنين.